לפני כמה שבועות עמדו חובבי ההגרלות נדהמים מול הארוע הנדיר מאד בו אותם מספרים עלו בגורל בהגרלת הלוטו בשתי הגרלות שונות תוך פחות מחודש (דיווח מלמה-נט). הארוע הנדיר הוביל לארועים משעשעים לא פחות: תאוריות קונספירציה למיניהן, פרשנויות מביכות בעיתונים ופרופסור לסטטיסטיקה שטועה בחישובי הסתברות פשוטים יחסית (עוד על כך בפוסט המצוין של גדי אלכסנדרוני, כאן). החדשות המסעירות הגיעו לבלוג הפופולרי של פריקונומיקס בניו-יורק טיימס (כאן), ואפילו לאנדרו גלמן, פרופסור לסטטיסטיקה באוניברסיטת ניו יורק ובלוגר בלתי נלאה, שנדרש לסוגיה (כאן), ובעיקר לא הצליח למצוא את אתר האינטרנט של הסטטיסטיקאי השוגה מאוניברסיטת תל אביב.

והנה, היום שוב התפרסמה “שערוריה” של חישובי הסתברות במפעל הפיס (הנה כאן). משחק פשוט – צריך לנחש שלוש ספרות, לא לפי הסדר (כלומר אם מפעל הפיס הגריל את הספרות 0,4,5 בסדר הזה ואתם ניחשתם 5,0,4 – זכיתם). מפעל הפיס טוען שהסתברות הזכיה היא בערך 1 ל 200. והמתלוננים טוענים שלפעמים ההסתברות היא אחד למאתיים ולפעמים נמוכה יותר. זה נראה לי מוזר. בעיקר לא הבנתי את הטענה שהסתברות הזכיה היא לפעמים דבר אחד ולפעמים דבר אחר – במה היא תלויה? מתי זה כך ומתי אחרת? כיוון שמדובר בדיווח הלמה-נט, החשוד המיידי הוא שההסבר לקוי ושצריך כנראה לחשוב לבד.

אזרתי את כישורי המתמטיקה מהתיכון וחישבתי את ההסתברות לנחש 3 ספרות, בלי חשיבות לסדר (שונאי המתמטיקה שביניכם יכולים לקפוץ לפסקה הבאה). אם כל הספרות שהפיס מגריל שונות זו מזו, יש 6 אפשרויות שונות לסדר אותן, ולכן מתוך 1000 אפשרויות שיש לי לבחירת ספרות, 6 יובילו לזכיה – סיכוי של 1 ל166 בערך. אם שתי ספרות במספר של הפיס חוזרות (נניח, בחרו 1,1,2) אזי יש רק 3 אפשרויות לסידורים שונים שלהן – כלומר רק 3 ניחושים שלי מתוך 1000 אפשריים יובילו לזכיה – סיכוי של 1 ל333 לערך. אם המספר של הפיס יורכב כולו מספרה בודדת החוזרת שלוש פעמים, אזי אני חייב לנחש בדיוק את המספר ולכן הסיכוי הוא 1 ל 1000. איך מחשבים את הסיכוי הכולל (שהרי אנחנו לא יכולים לדעת מראש איזה מספר יעלה בגורל של מפעל הפיס)? עושים ממוצע משוקלל על פני האפשרויות. יש 720 אפשרויות לאופציה הראשונה (כל הספרות שונות), 270 אפשרויות לאופציה השניה, ובדיוק 10 אפשרויות לקבל מספר בו כל הספרות זהות. אם נשקלל את הסיכויים לפי המשקלות האלה נקבל סיכוי כולל של 1 ל 194 פחות או יותר. עושה רושם שמפעל הפיס צדק. 1 ל 200 זו הערכה קרובה מאד לסיכויי הזכיה.

אבל דעתי לא נחה. שהרי באמת, כתלות בסוג המספר שמפעל הפיס בוחר, כך משתנים סיכויי הזכיה. הטענה שלפעמים סיכוי הזכיה יותר נמוך מ 1 ל200 היא נכונה במובן מסויים. אבל מה יכול לעשות המהמר המסכן מול מפעל הפיס? בפארפרזה, אפשר אולי היה לומר שסיכויי הזכיה בטוטו הם גדולים יותר אם ידוע שאחת מהקבוצות מתל אביב תנצח – הרי על זה בדיוק אנחנו מהמרים. איזה בסיס יש לטענות נגד הפיס במקרה הזה?

ואז הבנתי (אני מבין לאט, כמו שאתם מבינים). פשוט צריך להפוך את כיוון המחשבה. אם אני בחרתי 1,2,3 במשחק הזה, יש 6 מספרים מתוך אלף שמפעל הפיס יכול להגריל שיובילו לזכייתי (123, 132, 213, 231, 312, 321). אבל אם בחרתי 3,3,7 יש רק שלושה מספרים שיכולים להוביל לזכייתי (337,373,733), ואם בחרתי 2,2,2 יש לי רק אפשרות אחת לזכות. וזו תופעה מעניינת ושונה מאד ממשחקי ההגרלות שאנחנו רגילים אליהם. בד”כ במשחקי הגרלה כל הימור שנבחר יש לו סיכוי שווה (על הנייר) לזכיה. לכל בחירה של מספרים בלוטו יש בדיוק אותו סיכוי להפוך למספרים הזוכים. אבל במשחק הזה, כפי שכרגע הראיתי, לבחירה 345 יש פי שתים סיכוי לזכות מאשר לבחירה 822. וזה לפני שנזרק לחלל האוויר אפילו כדור מזל אחד או קובייה אחת. וזו עובדה שכדאי להעביר לידיעת המשתתפים – תשמעו, פחות כדאי לכם לבחור מספרים עם ספרות חוזרות. אבל באופן עמוק יותר, מעבר לעניין ההגינות – זה מעיד על פגם בתכנון המשחק.

איך מתקנים את העניין? יש כמה דרכים:
1. אפשר לתקן את מרחב ההסתברות של מפעל הפיס. במקום שהפיס יבחר כל צרוף של שלוש ספרות בהסתברות שווה של 1 ל 1000, אפשר לתקן את ההסתברויות לבחירת מספרים כך שבסופו של דבר סיכויי הזכיה של כל אחד יהיו זהים. לטובת מפעל הפיס הנה ההסתברויות שיפתרו את הבעיה: מספרים עם שלוש ספרות שונות תבחרו בהסתברות 1 ל 1320, מספרים עם 2 ספרות זהות תבחרו בהסתברות 2 ל 1320 ומספרים עם 3 ספרות זהות תבחרו בהסתברות 6 ל 1320. סיכויי הזכייה, בכל מקרה יהיו 6 ל 1320 שהם 1 ל 220. עשויה להיות בעייה טכנית בישום הפתרון הזה, אם רוצים להגריל את המספר הזוכה באמצעות שלוש מכונות המגרילות ספרות באופן בלתי תלוי, אבל אני בטוח שאפשר להתגבר עליה באמצעות פירוטכניקה מתאימה.

2. אפשר לשנות את סכום הפרסים. הרי אם מציעים פרס יותר גדול עבור מקרה שההסתברות שלו קטנה יותר אין בכך רע. כדי להפוך את המשחק להוגן, צריך להציע פרס רגיל למספרים עם שלוש ספרות שונות, פרס כפול למספרים עם שתי ספרות זהות (ושלישית שונה), ופרס משושה עבור אותם מספרים בהם כל הספרות זהות. באופן הזה, תוחלת הפרס עבור כל ניחוש של משתתף תהיה זהה, ואף משתתף לא יקופח לרעה בגלל בחירה לא אינטיליגנטית (לכאורה) של הניחוש. זה הוגן וזה נשמע אפילו סביר למדי, גם אם לא מעניין מאד.

3. האפשרות החביבה עלי לוקחת את האופציה הקודמת צעד אחד קדימה. להציע פרסים שונים לכל מקרה, אבל באופן שתוחלת הזכיה לארועים נדירים תהיה גבוהה יותר מתוחלת הזכיה בארועים נפוצים יותר. כך המשתתף יצטרך לבחור: האם לבחור באופציה הסטדנרטית של מספר שכל ספרותיו שונות ולשכות בX שקלים אם יזכה, או לחילופין, להמר על משהו שההסתברות שיקרה היא שישית (מספר שכל ספרותיו זהות) תמורת הסיכוי לזכות בפרס הגבוה פי 7.במלים אחרות, המהמר צריך לבחור אם להעדיף פרס נמוך בסיכון נמוך, או פרס גבוה בסיכון גבוה פי כמה.

האם הייתם מעדיפים לקבל 10 שקלים ביד ללא תנאי או 70 שקלים אם תטילו קובייה פעם אחת ויצא לכם 4? האם הייתם מעדיפים לקבל 100 שקלים בהסתברות חצי, או 220 שקלים בהסתברות רבע? סוג כזה של שאלות הביא לדניאל כהנמן ועמוס טברסקי תהילת עולם (ולכהנמן את פרס הנובל), כשאחת התגליות המרכזיות שלהם היתה שאנשים, ברוב המקרים, הם שונאי סיכון, גם אם בתוחלת הם עשויים להרוויח יותר מלקיחת הסיכון. שנאת הסיכון אמנם לא עמדה במבחן המציאות הבנקאית סביב המשבר הכלכלי, אבל ברמה האינדיבידואלית יש הרבה תימוכין לתאוריה של כהנמן וטברסקי. למפעל הפיס יש אופציה לתקן את העוול שעשה למשתתפי ההגרלות עליהן דיברתי, ולהציע משחק שיש בו יותר מסתם מזל, אלא גם פסיכולוגיה. משתתפים יצטרכו להפעיל שיקול דעת כדי להחליט כמה סיכון הם מוכנים לקחת במשחק, איזה מין אנשים הם? זה גם יכול להיות ניסוי שדה מרתק בנוגע לשנאת סיכון. ככלל, הרי אנשים הם שונאי סיכון. אבל האם אנשים מהמרים הם גם כאלה?



תגובות

  1. שי כותב:

    בד’ה מרקר נכתב גם שאמון הציבור טוענים “ב 10% מהמקרים סיכוי הזכיה הוא 0”:
    http://www.themarker.com/tmc/article.jhtml?ElementId=rl20101116_22154

    קראתי את חוקי ההגרלה באתר הפיס (יש גם פרסים קטנים יותר למנחשי אחת או יותר מהספרות בסדר שבו נבחרו, ופרס גדול יותר למנחשי כל הספרות בסדר שבו נבחרו), אך לא הצלחתי להבין איזו בחירה לא תוביל כלל לזכיה, אלא אם המכונות של מפעל הפיס אינן הוגנות.

  2. amit כותב:

    תודה שי על התגובה והשאלה, והרי ההבהרה:

    במשחק המדובר, ניחוש המספרים שלא לפי הסדר הוא הפרס השני, כאשר הפרס הראשון הוא ניחוש הספרות לפי הסדר.
    לפיכך הסיכוי לזכות בפרס השני, הוא הסיכוי לנחש את המספרים בלי קשר לסדר, פחות אותו מקרה בו הסדר הוא הנכון (שכן אז זוכים בפרס הראשון).
    לכן, אם בחרת שלוש ספרות שונות – בסה”כ יש 6 אפשרויות לזכות. אחת מהן תזכה אותך בפרס הראשון וחמש האחרות יזכו אותך בפרס השני.
    אם בחרת שלוש ספרות זהות, אין לך סיכוי לזכות בפרס השני, כי האפשרות היחידה לזכות בפרס תהיה הפרס הראשון!

    כשערכתי את הניתוח שלי לא התחשבתי בעובדה שמדובר בפרס שני בלבד, ולכן צריך להפחית את סיכויי הזכיה בפרס הראשון. אם כך, צודק הצרכן הערני שפנה לארגון אמון הציבור.
    אגב – מפעל הפיס עדכן את האתר שלו, וגם אם מה שכתוב שם לא נותן מידע הגון לצרכן בצורה ברורה (לעניות דעתי), הוא כנראה מכסה את מפעל הפיס משפטית.

    הם גם לא שינו במאום את מבנה המשחק – כך שהמשחק עדיין לא הגון במובן שכתבתי עליו לעיל. משתתפי המשחק יעשו בחכמה (סטטיסטית) אם יבחרו רק במספרים שכל ספרותיהם שונות זו מזו, אחרת הם פוגעים בסיכוייהם לזכות, ללא שום רווח נראה לעין. כמובן שמי שיש לו קשרים עם השטן/אלוהים/מה שזה לא יהיה, יכול להיות שכדאי לו לנהוג אחרת. אבל מבחינה סטטיסטית טהורה אין שום טעם לבחור מספרים דוגמת 335, 666, 411 וכד’.

  3. amit כותב:

    ולאחר מחשבה נוספת – עושה רושם שמפעל הפיס נוהג בטמטום. הוא כמובן עדכן את סיכויי הזכיה המשוקללים מ1:200 ל 1:241 – ובכך יורה לעצמו ברגל.
    שינוי הערכת ההסתברות שעשה משפיעה על כמות הכסף שיוקצה לפרסים – הערכת הסתברות נמוכה יותר מובילה לפרסים גבוהים יותר. לעומת זאת, משתתפים חכמים (כלומר אלה שיבחרו שלוש ספרות שונות), יזכו בפרסים בהסתברות גבוהה יותר. אם מספר רב של משתתפים יהיה חכם, יצא בסופו של דבר שמפעל הפיס מתכנן פרסים כאילו ההסתברות היא נמוכה, אבל בפועל מחלק אותם בהסתברות גבוהה יותר. זה לא שהם יתחילו להפסיד פתאום, אבל הם עלולים להרוויח פחות.
    אם הייתי רוצה לפתוח קזינו, לא הייתי נותן לסטטיסטיקאים של מפעל הפיס לנהל לי את העניינים.

  4. amit כותב:

    ועוד אגב אחד: כיוון שבפוסט לא לקחתי בחשבון שיש גם פרס ראשון (וגם פרסים שלישי ורביעי) בסיפור, “אופציה מס. 1” שהזכרתי לתיקון הפגם במשחק איננה רלוונטית. היא אמנם תתקן את העוול שבפרס השני, אבל תגרום לעוול בפרס הראשון.

  5. אלימלך זורקין כותב:

    ברור לכול גם מבלי להיות סטטיסטיקאי דגול כי התרומות הרבות של מפעל הפיס ברחבי המדינה (אשכול פיס)באים גם “להכשיר את שרץ ההימורים” שאינם חוקיים במדינה וגם מרמזים על היקף ריווחי מפעל הפיס. כן ברור לכול כי מינוי הבכירים במפעל הפיס הינו פוליטי, ולכן לחברי הכנסת אין כל כוונה לבצע שינוי בפעילות מפעל הפיס, בנוסף אני משער כי העובדים של מפעל הפיס נהנים מתנאים טובים מאוד.
    מכאן שמדובר במפעל ריווחי מאוד.

    וכמובן את המחיר משלמים המוני בית ישראל אשר אינם יודעים את ההסתברות האמיתי לזכייה.
    וכרגיל ללא חרם צרכני דבר לא ישתנה, ובמפעל הפיס הרי מבינים בסטטיסטיקה, ולכן יודעים כי ההסתברות בישראל לחרם צרכני שואפת לאפס.

    אני לכשעצמי רוכש כמעט כל שבוע טופס במחיר המינימאלי של 5.80 ש”ח מתוך ידיעה כי מבחינה הסתברותית ההבדל בין טופס מלא לטופס בין 2 טורים שואף לאפס.

  6. יונתן כותב:

    בקשר לדוגמה של השבר הכלכלי והתיאוריה של כהנמן וטברסקי,
    קצת קשה להשוות משום שהברוקרים גם אינם משתמשים בכסף האישי שלהם והם מתוגמלים לפי רווחים כך שיש להם תמריץ לקחת סיכונים מיותרים.
    תמריץ נוסף ללקיחת סיכונים מיותרים טמון בתחרותיות הגבוהה בענף הפיננסים.

הוספת תגובה